引入

在3B1B的一期视频中讲到了一种运用镜像对称来化简桌球的碰撞问题，那么能不能求这样一个问题：

在不考虑摩擦、转动的桌球上，已知入射点位置和方向，能否找到某个次数p，使得在p次与台面边缘的碰撞后回到出发点？

建模

由于桌球是圆的，所以碰撞时桌球与台面接触的边界是圆弧，因此我们考虑圆心与台面接触的边界，即圆心与台面接触的圆弧。
这里我们先考虑一般的情况，即桌球与台面的边界斜碰，而桌球与台面正碰以及与边界的角正碰都必有碰撞次数1使得桌球返回原点。

我们不妨先考虑长为a、宽为b的桌球台面，其边界即为碰撞边界，某个球在 \( \left ( x_{0}, y_{0} \right ) \) 的位置，其入射向量为 \( \vec{s} = \left ( u_{0}, v_{0} \right ) \) 如图建立坐标系：

图一

考虑多次反弹后有以下模型：
当桌球与任意边界碰撞时，以该边界为对称轴，作其边界的镜像，桌球与该边界碰撞后，其位置与入射向量均变为镜像的对应值，即：

图二

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